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Die große Enzyklopädie des mechanischen Rechnens

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Heron-Verfahren


German: Heron-Verfahren
English:
French: algorithme de Héronméthode de Héron
Italian:
Spanish:

1 Beschreibung

Das Heron-Verfahren zum Ziehen von Quadratwurzeln soll auf Heron von Alexandria, der im ersten nachchristlichen Jahrhundert lebte, zurückgehen.

Der Grundgedanke des Verfahrens ist ein geometrischer: Die Quadratwurzel einer nichtnegativen reellen Zahl a lässt sich geometrisch beschreiben als die Kantenlänge des Quadrates mit Flächeninhalt a. Das Heron-Verfahren nähert das Quadrat an durch ein flächengleiches Rechteck, gleicht bei jedem Schritt die Kantenlängen des Rechtecks einander an, ohne die Fläche zu verändern, so dass das Rechteck immer mehr zu einem Quadrat wird und seine Kantenlängen der gesuchten Wurzel immer näher kommen.

Sei a die Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll.
Im Folgenden bezeichnen x und y die Kantenlängen des flächengleichen Rechtecks.

Schritt 0: Wähle die Länge der ersten Rechteckkante x als Näherung für die Wurzel aus a. Z.B.:
 x := a/2

Schritt 1: Damit die Fläche des Rechtecks gleich a ist, muss die andere Kante y gleich a/x sein:
 y := a/x

Schritt 2: Nun berechne ein neues Rechteck, dessen eine Kante gleich dem arithmetischen Mittel der Kanten des letzten Rechtecks ist:
x^\prime := \frac{x + y}{2}

Schritt 3: Nun berechne die zweite Kante so, dass die Fläche weiterhin gleich a ist:
 y^\prime := a/x^\prime

Wiederhole die Schritte 2 und 3 so oft, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

2 Weblinks



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