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Die große Enzyklopädie des mechanischen Rechnens

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Wozu brauchen wir noch Logarithmen?


Sommaire
1 Die Ausgangslage
2 Verschiedene Logarithmen
3 Arten von Logarithmentafeln
4 Wo findet man Logarithmen?
5 Beispiele aus den Zuschriften (Antworten auf das Rundschreiben)
6 Logarithmen im Internet
7 Logarithmen sind nicht tot
8 Dank
9 Copyright

1 Wozu brauchen wir noch Logarithmen?

Werner H. Rudowski

1 Die Ausgangslage

Mit der Einführung des Turbo-Abiturs (12 statt 13 Schuljahre) musste zwangsläufig der Lehrstoff überprüft werden; es wurde von Entrümpelung gesprochen. Deutsche Kultusminister haben deshalb Streichungen bei den Lehrplänen vorgenommen. Betroffen davon sind auch die Logarithmen. Das erscheint auf den ersten Blick vernünftig; die allgegenwärtigen Taschenrechner haben Logarithmentafeln und – bis auf wenige spezielle Ausnahmen – auch Rechenschieber überflüssig gemacht. Aber wurde auch bedacht, dass in fast allen Naturgesetzen, in der Technik und vielen Bereichen des täglichen Lebens Logarithmen stecken? Sie zu verstehen ist eine wichtige Voraussetzung für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Die Antworten In einem Rundschreiben an die RST-Mitglieder hatte ich um Beispiele für die Anwendung von Logarithmen gebeten. Es gab 14 Antworten, eine erfreuliche Zahl, die die Wichtigkeit des Themas unterstreicht. Erstaunlicherweise haben sich auch mehrere Nicht-RST-Mitglieder gemeldet, viele aus Österreich und sogar aus den USA. Es gab eine Reihe von ausführlichen und kurzgefasten Beispielen, oder Hinweise auf Bücher und verschiedene Webseiten. Viele Professoren haben die Entscheidung der Kultusminister kritisiert, teils mit sehr drastischen Worten. Sie bedauern außerordentlich, wenn junge Studenten erst bei ihnen mathematische Grundlagen erlernen müssen. Ist es nicht ein Widerspruch, wenn einerseits der Mangel an Wissenschaftlern und Ingenieuren beklagt wird und anderseits Mathematik, Physik und Technik in der Öffentlichkeit einen so geringen Stellenwert haben, wenn viele Bildungsbürger mit ihren mangelhaften Mathematikkenntnissen prahlen?

2 Verschiedene Logarithmen

Es soll hier nur kurz daran erinnert werden, dass es neben den dekadischen (Briggschen)Logarithmen zur Basis 10 noch die natürlichen zur Basis e und die binären oder dualen zur Basis 2 gibt. Die natürlichen Logarithmen spielen eine große Rolle bei fast allen Naturvorgängen. Wir finden sie entweder als Exponentialfunktion oder deren Umkehrfunktion, der Logarithmusfunktion. Untenstehende Abbildung zeigt beide Funktionen für unterschiedliche Basiswerte.

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Exponential- und Logarithmusfunktion


3 Arten von Logarithmentafeln

Neben den häufigen Tafeln mit dekadischen Logarithmen und unterschiedlichen Stellenzahlen und den Tafeln für natürliche Logarithmen wurden schon früh Tafeln für spezielle Anwendungen erstellt, z. B. für Für besondere Fälle gibt es auch Tafeln der Additions- und Subtraktions-Logarithmen.

4 Wo findet man Logarithmen?

Es ist unmöglich, alle Vorkommen aufzulisten. Aus der Fülle können nur einige Beispiele wahllos und meist ohne nähere Erläuterung gezeigt werden. Zur Einstimmung vorab einige Formeln aus meiner Studienzeit (lang, lang ist’s her):

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Formeln


5 Beispiele aus den Zuschriften (Antworten auf das Rundschreiben)

5.1 Barometrische Höhenmessung von Rainer Heer

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heer1

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heer2


5.2 Helligkeit von Sternen von Peter Holland

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Holland


5.3 Dezibel, Halbwertszeit und anderes von Dr. Franz Felberbauer

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Felberbauer


5.4 Metabolismus von Dr. Claudia Seger-Thomschütz

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Seger


5.5 Beispiel aus dem Schulalltag von Dr. Gerlinde Faustmann

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Faustmann

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Faustmann2


5.6 Seilreibung von Stephan Weiss

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Weiss


5.7 Berechnung der Raketengeschwindigkeit von Ralph Bülow

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Bülow


5.8 Umkehrung einer Exponentialfunktion von Hanns-Georg Krenhuber

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krenhuber


5.9 Welt voller logarithmischer Funktionen von Prof. Dr. Christian Hamann

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profhamann1

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profhamann2


5.10 Logarithmen im Studium von Prof. Dr. Jens Kirchhoff

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kirchhoff1

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kirchhoff2


5.11 Proportional-Logarithmen der Astrologie

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kochschaeckPropLog


5.12 Die durchhängende Kette

Es sieht so aus, und lange glaubten es Mathematiker auch, dass eine durchhängende Kette oder ein durchhängendes Seil eine Parabel bilden. Aber schon Leibniz und Johann Bernoulli bewiesen, dass die Kettenlinie oder Steilkurve der Gleichung y = (eax + e-ax) : 2a folgen. Die Konstante a hängt von den physikalischen Eigenschaften der Kette oder des Seils ab. Die Abbildung zeigt die Kurve für a =1.
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Kettenlinie

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Kettenlinie

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Gateway


Eine Umkehrung der durchhängenden Kette können Besucher der USA in St. Louis bewundern: den Gateway Arch. Er ist 192 m hoch und wurde 1965 am Ufer des Mississippi errichtet. Aber auch Brückenbögen und alle Hängebrücken sind statisch nach dem Prinzip der Seil- oder Kettenlinie berechnet. (aus: Eli Maor: „e“ The Story of a Number; Princeton, New Jersey, 1994)

5.13 Logarithmen in der Musik

Natürlich müssen Musikschüler nicht erst Logarithmen beherrschen, bevor sie ans Klavier gelassen werden. Aber es ist doch interessant zu sehen, dass auch die Töne nach logarithmischen Gesetzen aufgebaut sind. David Rance und insbesondere Dr. Klaus Kühn haben uns das in Vorträgen und Beiträgen erläutert. Das nebenstehende Bild ist dem Buch von Dr. Klaus Kühn und Rodger Shepherd CALCULATING WITH TONES; THE LOGARITHMIC LOGIC OF MUSIC entnommen.  The Oughtred Society, 2009
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5.14 Die logarithmische Spirale

Die Abbildung unten zeigt eine logarithmische Spirale. Bei ihr vergrößert sich der Abstand vom Mittelpunkt mit jeder Umdrehung um den gleichen Faktor. Eine weitere Eigenschaft ist, dass jede Gerade durch den Pol (Mittelpunkt) die logarithmische Spirale im gleichen Winkel schneidet. Zahlreich sind Beispiele aus der belebten Natur, z. B. das Gehäuse der Nautilusschnecke, ein Tiefdruckwirbel oder auch die Anordnung der Sonnenblumenkerne. Auch im Weltall „gehorchen“ Spiralgalaxien logarithmischen Gesetzen. Wunderschöne Spiralen finden sich auch im Apfelmännchen-Fraktal (Mandelbrot). Im Internet gibt es eine Fülle weiterer interessanter Beispiele.  Nautilus  Logarithmic Spiral
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Sonnenblume

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Logarithmische Spirale


Etwas anderes sind Rechenscheiben, auf denen Logarithmen spiralförmig angeordnet sind, um die Skalenlänge zu vergrößern.

(Ergänzung von KK: Hinweis auf den Artikel von Panagiotis Stefanides  Golden Root Symmetries)

6 Logarithmen im Internet

Nahezu unendlich viele Einträge findet man unter diesem Suchbegriff, manches neu, vieles interessant, teils wissenschaftlich, teils trivial. Einige Sammler haben folgende Seiten besonders empfohlen:

7 Logarithmen sind nicht tot

In der Vergangenheit haben Logarithmen unendliche Erleichterungen und Zeitersparnis bei langwierigen Rechnungen gebracht (sie haben das Leben der Astronomen verdoppelt). Rechenstäbe waren über 100 Jahre (in England über 300 Jahre) nicht aus dem Leben von Ingenieuren und Wissenschaftlern wegzudenken. Sie haben heute ausgedient. Aber unverzichtbar sind Logarithmen nach wie vor zum Verständnis der Zusammenhänge in Naturwissenschaft und Technik. Deswegen brauchen sie keinen Grabstein, aber viele Denkmäler. Vor allem aber hätten es Logarithmen und Rechenstäbe längst verdient, in die Weltkulturerbe-Liste der UNESCO aufgenommen zu werden.

8 Dank

Ich danke den Damen Dr. Gerlinde Faustmann und Dr. Claudia Seger-Thomschitz, den Herren Ralf Bülow, Guus Craenen, Dr. Franz Felberbauer, Professor Dr. Christian Hamann, Rainer Heer, Peter Holland, Professor Dr. Jens Kirchhoff, Hanns-Georg Krenhuber, Dr. Klaus Kühn, Professor Eli Maor, Dieter von Jezierski und Stefan Weiss für die Beispiele, Hinweise und kritischen Kommentare.

9 Copyright

Alle Rechte beim Verfasser Werner H. Rudowski, Bochum

Erstellt von: Klaus Kühn 22:08, 18. Mär 2011 (CET)

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