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Rechnerlexikon

Die große Enzyklopädie des mechanischen Rechnens

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Inhaltsverzeichnis

1 Geschichte der Mathematik:


Rechnen:
Die Sprachwurzel des Wortes "rechnen" bedeutet "ordentlich machen".Dies wurde ursprünglich auf einen Haufen von Zählsteinen oder -stäbchen bezogen und trifft noch heute auf einen Pack Stimmzettel zu. (Quelle: Deutsches Museum München, Abteilung Informatik)

Auf eine feine sprachliche Unterscheidung sollte hingewiesen werden:
lat. calculare bedeutet Rechnen mit Zahlen, lat. computare hingegen das Rechnen mit Zahlen nach einem vorgegebenen Schema bz. Ablauf. Daher haben der Calculator und der Computer ihre Namen. Komputisten waren im Mittelalter jene, die den Kalender und insbesonders das Osterdatum berechnent haben - eine ziemlich komplizierte Angelegenheit.

2 Entwicklung des maschinellen Rechnens:


Die Mechanisierung des Rechnens - zuerst der Addition und Subtraktion, dann auch der Multiplikation und Division - setzte im 17. Jahrhundert mit einem Aufschwung der Naturwissenschaften ein. Rädergetriebene Zählwerke bewältigen den Übertrag. Die Zurückführung der Multiplikation auf wiederholte Addition mit einer eingestellten Zahl gelang schon früh mit zwei technischen Prinzipien: Staffelwalze (Leibniz) und Sprossenrad (Poleni). Beide beherrschten lange Zeit das Feld.
(Quelle: Deutsches Museum München, Abteilung Informatik)

3 Zahlensysteme:


Schreiben von Zahlen und Rechnen mit Zahlen erfolgen im Alltag in einem Stellenwertsystem zur Basis Zehn (Dezimalsystem). Zur Zahlendarstellung werden die zehn "arabischen" Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 benützt (eigentlich "indische" Ziffern).
Fünf als Zahlbasis entspricht dem Zählen an einer Hand, Zehn mag "zwei Hände" bedeuten (got. twai = zwei, handus = Hand, taihun = zehn).
Zwanzig als Zahlbasis findet sich bei den Azteken und in manchen europäischen Sprachen als Reste keltischen Einflusses.
Zwölf als Zahlbasis ist altorientalisch und bis zu den Sumerern in Mesopotamien zurückverfolgbar, es hat die Astronomie und Zeitrechnung geprägt.
Auch Sechzig ( das kleinste gemeinsame Vielfache von Zehn und Zwölf) tritt als Zahlbasis (Minuten, Sekunden) auf.
Die Null als Ziffer entstand aus einem babylonischen Lückenzeichen. Das Stellenwertsystem kommt über sie Araber aus indischen Quellen.
(Quelle: Deutsches Museum München, Abteilung Informatik)

Die Geschichte der Logarithmen, ein Überblick

Durch die Geschichte des Zahlenrechnens zieht sich ein roter Faden, nämlich die Frage, wie man eine gestellte Aufgabe berechnen könne und vor allem möglichst einfach. In der Vereinfachung von Multiplikation und Division bestand der ursprüngliche Zweck der Logarithmen, noch lange bevor die Logarithmusfunktion als Beschreibung von Naturgesetzen dienen konnte. Nach Vorläufern in der griechischen Mathematik und bei frühen Mathematikern des Abendlandes zeigt Michael Stifel (um 1487 – 1567) eine Methode des vereinfachten Multiplizierens. Er stellt eine arithmetische Folge (oben) einer geometrischen (unten) gegenüber und zeigt, dass man durch Addition in der arithmetischen Folge die Zahlen darunter multiplizieren kann. Er schreibt:

„Man sehe also:
0-1-2-3--4--5--6---7---8
1-2-4-8-16-32-64-128-256
Wie aus der Addition (in der oberen Reihe) aus 3 und 5 dann 8 wird, so wird (in der unteren Reihe) aus der Multiplikation von 8 mit 32 dann 256...“

Stifel besitzt nicht das mathematische Werkzeug, um die Lücken in den Folgen zu füllen. Für das Berechnen von Logarithmen greift man noch lange Zeit auf diese Gegenüberstellung zurück. Erst Johannes Neper (1550 – 1617) gelingt die Formulierung einer mathematischen Grundlage zur Berechnung von Logarithmen. Erfunden, wie häufig behauptet wird, hat er sie nicht. Sein Logarithmensystem unterscheidet sich in wesentlichen Punkten von dem heute gebräuchlichen sog. Briggschen System. Neper kennt keine Basiszahl und seine Logarithmen sind nur im Bereich der Numeri von sin 0° bis sin 90° definiert. Zudem sind Nepers Logarithmen nur für trigonometrische Berechnungen gedacht, weil er die bei astronomischen Berechnungen gebräuchliche prosthaphäretische Methode ersetzen will.
Nepers Logarithmen werden begeistert aufgenommen und erlangen rasch Verbreitung. Man sieht aber auch Ansätze zur Verbesserung. Innerhalb von 20 Jahren erscheinen deshalb drei weitere unterschiedliche Logarithmensysteme, deren Autoren (Speidell, Kepler, Briggs) die Unzulänglichkeiten bei Neper verbessern möchten. Ein viertes Logarithmensystem in dieser Reihe ist das von Jost Bürgi (1552 – 1632). Er hatte etwa zur gleichen Zeit wie Neper daran gearbeitet, sein Werk aber erst später veröffentlicht, sodass es weitgehend unbekannt geblieben ist.
Henry Briggs (1561 – 1630) einigt sich mit Neper auf Änderungen im System. Sie bestehen im Wesentlichen im Ansatz log(10^n)=n und 10^0=1. Mit den Briggschen Tafeln beginnt die Ära der grossen Tafeln. Sie werden bearbeitet und herausgegeben von Adriaan Vlacq (1600 – 1667) und Jurij Vega (1754 – 1802). Erwähnt werden müssen auch die logarithmischen Rechengeräte, die vom Rechnen mit Logarithmen beeinflusst sind und das Rechnen mit ihnen mechanisieren, und ihr vielfältiger Weg der Entwicklung.

Gegen Ende des 18. Jahrhunderts beginnt ein neuer Weg in der Berechnung von Logarithmentafeln. Gaspard Riche de Prony (1755 – 1839) organisiert die Berechnungen auf der Basis des Differenzenverfahrens in strikter hierarchischer Organisation und Arbeitsteilung. Auf der höchsten Ebene teilen 5 oder 6 namhafte französische Mathematiker das Projekt in Abschnitte ein und erstellen die Formeln hierzu. Auf der zweiten Ebene berechnen zwischen 2 und 8 geübte Rechner daraus alle notwendigen Zwischenwerte, damit auf der dritten Ebene 60 bis 80 angelernte Personen die Rechenaufgaben, die man ihnen überträgt, ausführen und zurückgeben. Bei der Wahl der Teilrechnungen achtet man darauf, dass möglichst nur Additionen und Subtraktionen auszuführen sind. In der dritten Ebene arbeiten 60 bis 80 Personen, überwiegend arbeitslose Friseure, die nach der Französischen Revolution keine Arbeit mehr finden, weil die Symbole der Aristokratie, kunstvoll gestaltete Perücken und Frisuren, aus verständlichen Gründen aus der Mode gekommen sind.
Charles Babbage (1791 – 1871) kennt dieses Verfahren und versucht, es in sog. Differenzenmaschinen umzusetzen. Den Grund hierfür gibt ein Problem der Logarithentafeln, das zu seiner Zeit immer dringlicher wird: sie enthalten zuviele Fehler. Fehler konnten bei der Berechnung, bei der Übertragung der Ergebnisse in die Druckvorlage und schliesslich beim Setzen selbst entstehen und erhebliche Folgeschäden nach sich ziehen. Während Babbage aus finanziellen und konstruktiven Gründen mit seinen zwei Differenzenmaschinen wenig erfolgreich ist, gelingt es Scheutz, Wiberg und Grant derarige Maschinen zu bauen und einzusetzen.
Noch im 20. Jahrhundert werden zwei Differenzenmaschinen gebaut und für Berechnungen von Logarithmentafeln eingesetzt. Es sind dies die Maschinen von Hamann, kurz nach 1900, und die aus handelsüblichen Rechenmaschinen zusammengesetzte Maschine von Thompson. Letzterer berechnet damit im Zeitraum von etwa 1924 bis 1952 eine zwanzigstellige Logarithmentafel, die nach Aufwand und Umfang auf Höhe der Tafel von Briggs 300 Jahre zuvor steht. Thompson greift sogar in seinen Berechnungen auf Werte von Briggs zurück. Mit Thompsons Tafel erreicht die Geschichte der Logarithmentafeln einen neuen Höhepunkt und gleichzeitig ihr Ende. Elektonische Rechner haben sie nutzlos werden lassen.

Mehr zu diesem Themenkomplex im Januar 2010

Literatur im Rechnerlexikon:

Differenzenmaschine Hamann  Text
Differenzenmaschine Thompson  Text
Differenzenmaschine für Anfänger  Text
Sonar 2004
Wie konstruierte Napier Logarithmen?  Text
(27 S., Format PDF) Mit freundlicher Genehmigung des Autors Prof. Dr. Joachim Fischer, Ernst von Siemens Kunststiftung, München. Copyright beim Autor.

Abschnitt eingetragen von stewe 15:00, 11. Okt. 2009

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